G. Reducing Delivery Cost(思维+最短路)-白红宇

G. Reducing Delivery Cost(思维+最短路)

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发布时间：2019-03-01

本文共 2202 字，大约阅读时间需要 7 分钟。

如何优化处理免费边对最短路径的影响

在处理图中存在免费边的情况下，找到所有点对的最短路径是一个具有挑战性的任务。传统的方法可能需要对每条边进行暴力枚举，然后针对每个点进行Dijkstra算法，这种方法的时间复杂度通常较高。以下是一种优化的方法，能够有效地处理这种情况，同时减少计算量。

方法概述

我们提出了一种基于预处理的方法，通过分析每条边对各个点对的最短路径的影响，来找到最优解。具体步骤如下：

预处理每个点的最短路径：对于图中的每个点，使用Dijkstra算法计算其到所有其他点的最短路径。这样可以得到一个全面的距离矩阵。

分析每条边的影响：对于每条边(a, b)，我们需要分析其对不同点对的最短路径的影响。具体分为以下三种情况：

情况1：边(a, b)不在任何点对的最短路径上，添加后仍然不在任何最短路径上。

情况2：边(a, b)不在原来的最短路径上，但添加后可能进入另一个最短路径。

情况3：边(a, b)原本就在某些点对的最短路径上，添加后可能改变这些点对的最短路径。

计算最小值：对于每条边，计算其对所有点对的最短路径的影响，然后取最小值作为最终结果。

这种方法的时间复杂度为O(mk + n² log m)，其中m是边的数量，n是点的数量，k是需要处理的点对数量。这比传统的暴力枚举方法更高效。

具体实现步骤

预处理最短路径：使用Dijkstra算法对图中的每个点进行一次计算，得到一个距离矩阵f[i][j]，表示点i到点j的最短路径距离。

遍历每条边：对于每条边(a, b)，考虑其对点对的最短路径的影响。具体来说，对于每条边，计算其对所有点对的最短路径的影响，然后更新最终的最短路径距离。

更新最终结果：对于每条边，计算其对所有点对的最短路径的影响，然后取最小值作为最终结果。

代码示例

#include 
   
    #include 
    
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           #include 
           
            #define debug(a) cout << a << endl;using namespace std;const int maxn = 1e3 + 100;typedef long ll;typedef pair
            
              P;LL n, m, k, start;struct edge { LL to, cost;};vector
             
               g[maxn];vector
              
               
                > Edge;void dijkstra() { LL s = start; memset(dis, 0x3f, sizeof(dis)); memset(vis, 0, sizeof(vis)); dis[s] = 0; priority_queue
                
                 , greater
                 > que; que.push({0, s}); while (!que.empty()) { P p = que.top(); que.pop(); LL v = p.second; if (vis[v]) continue; vis[v] = 1; for (LL i = 0; i < g[v].size(); i++) { edge e = g[v][i]; if (dis[e.to] > dis[v] + e.cost) { dis[e.to] = dis[v] + e.cost; que.push({dis[e.to], e.to}); } } } for (LL j = 1; j <= n; j++) { f[s][j] = dis[j]; }}int main() { cin.tie(0); std::ios::sync_with_stdio(false); cin >> n >> m >> k; vector
                  
                   
                    > v; for (LL i = 1; i <= k; i++) { LL a, b; cin >> a >> b; v.push_back({a, b}); } for (LL i = 1; i <= n; i++) { start = i; dijkstra(); } LL sum = 1e18; for (auto i : Edge) { LL a = i.first, b = i.second; LL ans = 0; for (auto j : v) { LL u = j.first, w = j.second; LL option1 = f[u][u] + f[u][a] + f[w][b]; LL option2 = f[u][u] + f[u][b] + f[w][a]; ans += min(f[u][w], option1, option2); } sum = min(sum, ans); } cout << sum << endl;}

总结

通过预处理每个点的最短路径，并分析每条边对点对的最短路径的影响，我们可以有效地找到图中所有点对的最短路径，即使存在大量免费边的情况。这种方法的时间复杂度优于传统的暴力枚举方法，使得处理大规模图问题更加高效。

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